• Что такое фактурная штукатурка
• Выбираем сухие строительные смеси
• Преимущества напряженного железобетона
• Что влияет на выбор кровельного материала
• В чем преимущество пробковых полов

пространственно-временным описанием соответствующего движения, нек-рой вероятной схемой последнего. Для лучшего уяснения смысла этой схемы рассмотрим сначала вкратце применение ее к переходным движениям. Представим себе атом, находящийся в начальный момент в некотором ?г-ом стационарном состоянии и подверженный действию излучения. В течение ближайшей единицы времени атом может перескочить в любое другое т-ое стационарное состояние как с поглощением, так, вообще говоря, и с испусканием света. Точно указать, в какое именно состояние атом перескочит и когда именно это случится, принципиально невозможно. Задача физической теории сводится только к определению вероятности различных мыслимых переходов п-т, спонтанных или же вызванных излучением. Эти вероятности могут быть определены и экспериментальным путем, если рассматривать не один атом, а множество одинаковых атомов или же множество экземпляров одного и того же атома, находящихся в начальный момент i=0 в одном и том же и-ом состоянии. Вероятность перехода п-т за данное время может быть при этом измерена относительным числом атомов (или экземпляров), перешедших за это время в состояние т.

Совершенно аналогичным образом трактуются в новой М. к. стационарные и всякие другие движения. Вместо того чтобы определить ход движения, т. е. описывать непрерывное изменение характеризующих его динамич. величин (координат, скоростей, сил и т. д.) во времени, как это делала или, вернее, пыталась делать старая механика и теория Бора, новая М. к. ставит себе задачу об определении вероятности того или иного состояния, т. е. тех или иных значений динамич. величин, характеризующих это состояние в функции времени. При этом предполагается, что одному и тому же начальному состоянию могут соответствовать, вообще говоря, любые конечные состояния. Это предположение находится на первый взгляд в полном противоречии со всеми нашими представлениями о детерминизме физических явлений как об однозначной определенности следствий причинами или конечного состояния начальным. Рассматриваемое противоречие смягчается однако тем обстоятельством, что новая М. к. исключает возможность точной характеристики состояний в том смысле, как это делается старой механикой. Так например, исследуя двилсе-ние материальной частицы, напр. электрона, в данном внешнем силовом поле (напр. вокруг положительного ядра атома), старая механика фиксирует состояние частицы заданием шести величин: трех координат частицы ж, у, Z и трех проекций ее скорости х' 8 Д- некоторого начального момента времени i=0. При этом путем интегрирования уравнений движения оказывается возможным точно определить значения этих величин для любого последующего или предыдущего момента времени. Таким образом вероятность состояния, определяемого этими значениями,при данном исходном состоянии оказывается равной единице (вероятность Ь означает достоверность), а вероятность

всякого другого значения - равной нулю (невозможность).

Если М. к. не знает этих двух крайностей- достоверности и невозможности - и считает все конечные состояния возможными (хотя и не одинаково вероятными) при одном и том же начальном состоянии, то это по крайней мере отчасти объясняется тем, что рассматриваемые состояния (как начальное, так и конечное) фиксируются ею не вполне определенным образом. Этот принцип неопределенности (в характеристике состояний), впервые вскрытый Гейзенбергом в 1027 г. (уже после форй1улировки основных законов М. к.), может быть ф >рмулирован в простейшем случае следующим образом: чем точнее фиксируется положение материальной частицы, тем менее точно может быть определена ее скорость, и, наоборот: чем точнее фиксируется скорость частицы, тем менее точно м. б. определено ее положение. В своем обосновании принципа неопредстенности Гейзенберг исходил из анализа экспериментальных условий, в к-рых происходит наб.тю-деиие движения материа.пьных частиц. При этом он отмети.т1 тот ф1кт, что всякое наблюдение частицы, имеющее целью определение ее положения, неизбежно связано с нек-рым воздейств11ем на нее (например воздействием света, если наблюдение осуществляется визуально), к-рое вызывает неконтролируемое изменение скорости частицы в момент на-б.июдения; аналогичным образом воздействие, требуемое для измерения скорости, неизбежно вызывает неконтролируемое изменение положения.

Естественно возникает вопрос: если дело обстоит таким образом, то почему же физики этого раньше не замечали? Ответ весьма прост: раньше фмзики занимались изучением макроскопических явлений, в к-рых участвуют большие количества материи и энергии; принцип же неопределенности, ф )рму-лирова1шый выше, дает себя чувствовать лишь в том случае, когда имеют дело с чрезвычайно маленькими частицами - электронами, атомами или молекулами. Можно показать, что степень неопределенности, вкрадывающаяся в совместное определение положения и скорости какой-нибудь частицы, тем больше, чем меньше ее масса. При обычных массах она совершенно ничтожна, в случае же очень маленьких масс (масса электрона) она становится весьма значительной. Если напр. координата х частицы измеряется с точностью Дж (т. е. заключена между ж и х+Ах), то неконтролируемое изменение в скорости г; J. частицы, пооси невызываемое измерением ж, .лежит (приблизительно) в пределах AVa;= так что Дж-Дг>а,= . Здесь

/г обозначает постоянную Планка, т-массу частицы. Для э.лектрона т=9 10 г, и следовательно Дж Av.]., между тем как для частицы с массой в 1 г Дж Av. Ю' .

Величины, которые нельзя одновременно точно измерить, называются (канонически) сопряженными. Подобную сопряженную пару образуют между прочим энергия и время. Отсюда следует, что, фиксируя энергию атома в каком-нибудь стационарном состоянии, мы тем самым .лишаемся воз-

можности говорить о времени, к к-рому относится то или иное положение электронов в атоме или, другими словами,-о конфигурации этих электронов в данный момент времени.

Итак, задача М. к. как учения о поведении элементарных частиц материи заключается в определении вероятности тех или иных состояний или событий в мире этих частиц, т. е. тех или иных значений величин, характеризующих эти состояния или события, при определенных значениях других величин, к-рые могут быть одновременно измеренными, и характеризующих условия, при к-рых исследуется рассматриваемая система частиц. Решение этой задачи было найдено еще до того, как она была правильно поставлена, и притом двумя совершенно различными путями. По одному пути, проложенному Бором, к этому решению, в несколько схематической форме, пришел Гейзенберг, отчасти в сотрудничестве с Бором и Иорданом. По другому пути, который был намечен еще в 1905 г. Эйнштейном, к нему пришли де-Бройль и Шррдингер. Этот последний путь на первый взгляд не имеет ничего общего с рассматриваемой проблемой и относится к совершенно другой стороне квантовых явлений, которой в теории Бора уделялось очень мало внимания,-именно к вопросу о природе излучения, испускаемого (или поглощаемого) атомами при переходе из одного состояния в другое. Тот факт, что испускание и поглощение света осуществляется не непрерывным образом, а в виде отдельных актов , был установлен План-ком еще в 1900 году. Планк же установил основное соотношение s=hv между энергией e==W -W , теряемой (или приобретаемой) атомом, и частотой v-испускаемого (или поглощаемого) света. Сосредоточив свое внимание на атомах, Бор вывел отсюда свое представление о существовании прерывного ряда стационарных состояний. Эйнштейн же, сосредоточив свое внимание на испускаемом или поглощаемом свете, пришел к мысли о прерывной корпускулярной структуре последнего. Таким образом Эйнштейн вновь возродил ньютоновскую теорию света как потока частиц особой световой субстанции . При этом однако для характеристики этих частиц Эйнштейн исходил уже не из ньютоновской механики, а из им же самим (в том же 1905 г.) установленной механики, теории относительности, в которой масса какой-либо частицы не является постоянной величиной, но зависит от скорости v ее движения по отношению к наблюдателю по формуле т=-, где Шп-так называемая

покоящаяся масса (при и=0), а с-скорость света. Для световых частиц, движущихся по определению со скоростью г; = с, масса т может иметь конечное значение только в том случае, если покоящаяся масса равна нулю. Этим свойством, с точки зрения теории Эйнштейна, отличаются световые частицы, или кванты, от частиц обыкновенной материи (для которых > 0). Отсюда следует, что световые частицы имеют эфемерное существование, ограничивающееся

временем их полета от одного атома, к-рым они испускаются, до другого атома, к-рым они поглощаются; в первом они рождаются за счет его энергии, а во втором погибают, превращаясь в его энергию.

Согласно эйнштейновской механике, частица массы m обладает (собственной) энергией £ = и количеством движения д= mv. В случае световых квантов, v = c и g=mc,

т. е. gl- Полагая, но Планку, e=hv и

принимая во внимачие, что c = vX, где А- длина волны света (с точки зрения волновой теории), мы получаем (? = х, или, заменяя длину волны волновым числом /е = у, равным числу волн в 1 см, подобно

тому как V - равно числу периодов в 1 ск., мы получаем соотношения:

e = h- vvigh-k. (1>

Второй особенностью эйнштейновской теории света, отличающей ее от теории Ньютона и непосредственно выраженной в предыдущих соотношениях, является неразрывная связь корпускулярных представлений с волновыми. Введя представление о световых лучах как о потоке световых квантов, Эйнштейн отнюдь не отбросил пре^кнего представления о них как о линиях распространения световых волн, но пытался трактовать оба представления как два разлгтаных аспекта одного и того же физического явления. При этом соотношения (1), характеризующие качество света (т. е. частоту колебаний, или длину волны, с волновой точки зрения, и Э|мргию, или кспичество движения кваитощ с корпускулярной), были дополнены им следующим вполне естественным соотношением, характеризующим количество , или интенсивность, света: концентрация световых квантов, т. е. число их п в единице объема, пронорциональна квадрату амплитуды щ световых колебаний в соответственной точке:

п~у>1 (2)

Двойственность представлений, введенную А. Эйнштейном в учение о свете, долгое время тщетно пытались устранить. Если такие явления классической оптики, как интерференция (см.) и диффракция (см.) света, находились в противоречии с корпускулярным представлением о свете, то ряд новооткрытых явлений, как например фотоэлектрический эффект, эффект Комптона (см. Рассеяние света) и т. д. находились в совершенном противоречии с волновым представлением и, наоборот, весьма естественным образом интерпретировались с точки зрения корпускулярной теории, и только через 20 лет после появления ее Л. де-Бройль в 1925 году впервые понял, что кор-пускулярно-волновой дуализм, введенный А. Эйнштейном в учение о свете, неустраним, что он является новым фундаментальным принципом физики и что он до.71л^ен относиться не только к свету, но равным образом и к обыкновенной материи.

Лростейшими элементами материи являются электроны. В свободном состоянии электроны наблюдаются в виде катодных лучей

(см. Лучи корпускулярные). Со времени их открытия в конце 90-х годов и вплоть до 1925 года катодные лучи трактовались как корпускулярное явление, т. е. как поток частиц, летящих от катода (отрицательного полюса) разреженной трубки. Де-Бройль дополнил это корпускулярное представление волновым, предлоясив рассматривать катодные лучи как особого рода волны, аналогичные световым, и связав частоту v и длину

Я = 4 этих катодных волн с энергией е= тс-

и количеством движения g=mv соответствующих частиц (электронов) теми же самыми соотношениями (1), к-рые были установлены Плавком и Эйнштейном для света. Определяя произведение vX=w как скорость распространения катодных волн, мы получаем для нее формулу w = . Таким образом

волновая скорость оказывается обратно пропорциональной корпускулярной. Длина волны катодных лучей, вычисленная по формуле

де-Бройля Я=, для лучей, обычно применяемых на практике, оказывается такого же порядка величиной, как и для рентгеновых лучей. Отсюда естественно было ожидать, что при отражении катодных лучей от кристаллов илп прохождении их через очень тонкие пленки кристаллич. или микро-кристаллич. вещества должны получаться такие же интерф ренцпонные и диффракци-онные явления, как и в случае рентгеновых лучей. Это предсказание теории блестяще подтвердилось в опытах Дэвисона и Джер-мера, Г. П. Томсона, Е, Руппа и др. В частности Руину удалось наблюдать диффрак-цию катодных л^чей от обыкновенной оптпч. диффракциопной решетки, причем измеренная им длина волны в точности совпадала с теоретической. Заметим, что скорость катодных лучей V ы. б. вычислена из разности потенциалов V, примененной для их ускорения, по ф-ле: кинетическая энергия

-1 \ = е F,

где е-заряд электрона, В случае не слишком быстрых катодных лучей {v мало в срав-кепии с с) точное релятивистское выражение для кинетической энергии можно заменить обычным }mv, что дает (тг;) = 2meF, и следовательно

Выражая V в вольтах, а Я в ангстремах, получаем:

Предыдущая формула представляет собой частный случай связи между длиной катодных волн и потенциальной энергией соответствующих частиц. Обозначая через W полную энергию одной из частиц, а через и (х, у, z)-потенциальную энергию ее в

точке (ж, 1/, гг), имеем -~=W-Uvl так. обр.

l-AW-lKx, у, z)-\.

Распространение световых волн в какой-нибудь прозрачной среде определяется ди-ференциальным ур-ием:

1 a.v .

где представляет собой колеблющуюся величину (напр. электрическое напряжение), а W-скорость распространения волн в данном месте. В случае монохроматич. колебаний зависимость гр от времени выражается множителем е * (или coslnvt, или же-Bixi2nvt), так что у^* = Замечая,что

, получаем

в этом случае вместо (4) г Л. V = 0. (5)

Это волновое ур-ие, установленное для световьгх волн, было по аналогии распространено Шрдингером в 1926 г. на волны де-Бройля. Подставляя в (5) выражение (3) для длины их как функции координат, получаем таким образом основное ур-ие Шре-дНигера:

T + ?(T7 U)v = 0. (6>

Вопрос о физич. смысле волновой функции гр, фигурирующей в этом ур-ии, был выяснен несколько позднее Борном. По аналогии с соотношением (2) для световых волн можно было бы рассматривать квадрат амплитуды колебаний, т. е. квадрат абсолютного значения (модуля) ip, как меру числа электронов в единице объема вблизи данной точки. Эта интерпретация вполне естественна в том случае, когда ур-ие (6) применяется к б. или м. интенсивным катодным лучам, т. е. к большому числу электронов, при условии конечно, чтобы действием их друг на друга можно было пренебречь, ибо Потенциальная энергия JJ (х, у, z) характеризует лишь действие внешних сил на электрон, находящийся вточке(ж,г/,5;). По существу однако ур-ие (С) д. б. применимо и к предельному случаю одного катодного луча , образованного движением одного электрона в заданном внешнем силовом поле. В этом случае величину I V Г. т. е. квадрат модуля функции V, следует трактовать, согласно Борну, как меру вероятности нахождения электрона в соответствующей точке. В случае большого числа экземпляров электрона, не действующих друг на друга, относительное число электронов в объеме dV=dx-dy-dz должно быть пропорционально вероятности \у)\ dV нахождения одного из них в этом объеме. С этой точки зрения волны материи оказа.яись волнами вероятности. Вместе с тем оказался решенным и вопрос о фактич. определении вероятности, по крайней мере в простейшем частном случае, к к-рому относится шре-дингоровскос ур-ие (6), т. е. в случае движения одной частицы с постоянной энергией в постоянном (не зависящем от времени) силовом поле.

Решения ур-ия (G) имеют вид:

V = V (X, у, Z) i (7)

где частота v = - представляет собой волновую меру энергии движения (в слу-

чае покоящейся частицы эта энергия сводится к постоянной Шо б').Вероятность,или,врр-нер, объемная плотность вероятности lv = = vl, не зависит следовательно от времени. То обстоятельство, что время не входит в характеристику движения, непосредственно связано с точным определением энергии последнего. Во многих случаях ур-ие (6) допускает регулярные ргпк ния, т. е. такие решения, для к-рых функция v остается конечной, однозначной и непрерывной для всех значений X, у, Z, лишь при оппеделенных дискретных значшиях энергии W. Эти дискретные значзния (образующие бесконечный ряд) или, вернее, связанные с ними функции тр, и соответствуют стационарным движениям или квантованным состояниям теории Бора. В других случаях значения W и ф-ии V образуют непрерывный ряд, соответствующий ряду движений непериодического характера, которые в теории Бора вовсе не рассматривались. Так напр , в случае электрона, тяготеющего к не подвижному полож!. тельному заряду с потенциальной энергией CJ = -~ (г-расстояние и Z-атомный номер), квантованным эллиптическим движениям соответствует дискретный ряд энергий:

Wn--i: (п = 1, 2, 3, главное квантовое число ) с волновыми ф-иями вида:

г

ПОЛИНОМ (п-1)-й степени, а = -rzen радиус первой квантовой орбиты теории Бора, а уХ, q>)-шаровая ф-ия 1-то порядка (1 = 0, 1.....п - 1) от углов в и q), определяющих направление радиуса-вектора г]. Гиперболическим движениям электрона соответствует непрерывный ряд энергий W от О до об, с непрерывным рядом ф-ий у), изображающих (набольших расстояниях) стоячие шаровые волны определенной длины.

К важнейшим обобщениям и дополнениям предыдущих результатов относягся: а) Н е-стацио парные процессы. Если в уравн' НИИ (6) заменить множитель W при у эквивалентным ему в виду (7) оператором

§1, то оно приобретает вид:

a dv + dz - hot - -hT = 0. (8) Это урапнение представляет собой непосредственное обобщение ур-ия Шредингера (6), применимое к случаю движения частицы в переменном силовом поле (зависящем от вре--мени). Отметим, что это ур-ие по своей форме существенно отличается от обобщенного волнового ураинения (4). В частном случае постоянного силового поля общее решение ур-ия (8) имеет вид:

V=2 (9)

п

где V -частные решения вида (7), т. е. вида:

Wn =Wl(.x,y,z) е h Коэфициенты с. в (9) характеризуют относительные вероятности соответствующих стационарных состояний. Нормируя ф-ии ipn согласно условию J \у„\ dV=l, мы получаем

в силу свойства ортогональности этих ф-ий (ортогональность ф-ий гр и v,? выражается равенством нулю интеграла Jw y>mdV)

Т. о. при условии 2 Си1 = 1> величину с„Г^ можно трактовать как вероятность п-го состояния (при любом положении частицы).

Квадрат модуля ?/. получается умножением этой ф-ии па величину, с ней комплексно сопряженную v*, т. е. получающуюся из нее заменой i=>V-\. на -г. Имеем следовательно:

CnCWlwlfi h . (10)

пфт

Т. о. плотность вероятности слагается в рассматриваемом случае из ряда постоянных членов и из двойного ряда членов, гармонически колеблющихся с частотами:

Согласно теории Бора этой ф-лой выражается частота света, испускаемого или поглощаемого электроном (атомом) при переходе из п-го состояния в т-е (илинаоборот). С волновой же точки зрения v представляет собой как бы частоту биений между п-м и т-м колебаниями при одновременном их звучании . Исходя из этого обстоятельства, Шредингер попытался восстановить классич. (волновую) теорию испускания и поглощения света, заменив точечный электрон волновым электроном, электрич. заряд которого распределен в пространстве с объемной плотностью, пропорциональной v = VV- Эта точка зрения не может считаться вполне правильной; однако в известных пределах она позволяет весьма просто интерпретировать квантовые законы излучения. Прежде всего из нее непосредственно следует, что, находясь в определенном стационарном состоянии, электрон не может давать излучения, т. к. при этом он эквивалентен объем-номуэлектрич.. заряду с постоянной во времени плотностью. Далее интенсивность излучения, испускаемого при суперпозиции двух колебаний, соответствующих двум разным стационарным состояниям пит, оказывается пропорциональной сумме квадратов модулей величин

Хп,ш = JxfPn4>mdV и т. г^. (12)

Этот результат приводит в простейших случаях к правилам отбора , найденным полу-эмпирич. образом в теории Бора. Величины типа (12) называются матричными элементами (или компонентами) величины ж по отнош( ПИЮ к рассматривае мым состояниям. Совокупность этих элементов образует матрицу, заменяющую в М. к. классическую величину X.

Гейзенбергу удалось форлтулировать законы М. к. независимо от Шредингера и несколько ранее последнего, совершенно не вводя волновой функции и пользуясь исключительно матричными элементами различных величин. Заметим, что с корпускуляр-

ной точки зрения одновременное осуществление двух различных стационарных состояний с разными энергиями (W и TF, ) представляетея немыслимым. Соответственно этому испускание света частоты vj доляс-но трактоваться ею как результат перс хода из и-го состояния в т-е (или наоборот). Матричные элементы я; гили, вернее, квадраты их абсолютн. значений являются с этой точки зрения мерой вероятности подобных переходов. Что касается вынужденных переходов, связанных с поглощением или испусканием света или же с какими-нибудь другими возмущающими действиями, то их В^фОЯТ-ность определяется квадратом абсолютных значений матричных элементов той дополнительной энергии, к-рою характеризуется это возмущение, по отношению к соответствующим невоздтупгшным состояниям (или. вернее, волновым функциям, их характеризующим). При w=m матричные элементы представляют собой среднее значение соотвитст-вующсй величины в состоянии n=m.

б) Переход к обычной (классической) механике. Предыдущие результаты относятся не только к элелтентар-ным частицам материи-электронам, но и к сколь-угодно сложным частицам, поскольку можно отвлечься от их внутреннего строения и трактовать их как материальные точки с опреде.71енной массой т. Пов.ние системы подобных точек характеризуется уравнением:

-f- ~\Xi,y],z-, .... y .,z,i- Qj

Если положить в нем

tp = е

то оно приобретает вид:

у> = 0. (13)

(14)

ft = i

+2Д[(ёГ+(Э'+(Э1+ + =м15)

Если для всех рассматриваемых частиц отношение - очень мало, как это имеет место

ДЛЯ частиц обыкновенной материи, то первой суммой в левой части предыдущего \равнения можно пренебречь. При этом оно сводится к известному дифзренциальному ур-ию Гамильтона-Якоби:

в к-ром ф-ия S представляет собой т.н. действие . Это уравнение описывает движение множества экзелшляров рассматриваемой системы в координатном пространстве ж ..., при этом плотность множества (соответствующая вероятности у|) не играет существенной роли, т. к. из него всегда оказывается возможным выделить один определенный экземп.тяр и проследить за его движением с помощью соотношений:

т

dvk к HI

(17)

определяющих скорости частиц данной системы в произвольно избранной ее конфигурации. В случае ур-ия (15) подобное точное определение скорости при данной конфигурации оказывается невозможным, причем мерой неопред( ленности является для каждой частицы отношение (ср. Гейзенберговский принцип неопределенности ). Поэтому оказывается ш возможным и выделение одного какого-либо экзе мпляра из все го континуума,-и, вместо того чтобы следить за двинииием подобного экз-мпляра, мы оказываемся вынужденными ограничиться определением относительного числа экземпляров, находящихся в заданной конфигурации, т. е., другими словами, вероятности этой конфигурации jvi. Что касается скоростей, то им соответствуют в волновой механике операторы

определяющие вероятные значения этих скоростей ( математические о;дсидания ) по формулам:

к,х =/ Jv (кх V) dv, ... dVn. (18)

Аналогичными формулами определяются вероятные значения вс< х других динамическ. величин, характеризующих рассматриваемую систему. Все эти величины пр(>дставля-ются в волновой механике, вообще говоря, дифг-ренциальпыми операторами (напр. оператор энергии); в частном случае операторов нул вого порядка получаются простые множители при гр (как напр. в случае координат или потенциальной энергии).

Лит.: Гааз А., Волны материи и квантовая механика, пер. с 2 нем. изд., М.-Л., 1930; Ш р е-д и н г е р Э., Принципы волновой механики, УФН , Ы.-Д., 1928, т. 8; Д а р р о у, Волновая механика, там же, 1929, т. 9; Гааз А., Основ шип квантовой Химии, перевод с нем.,М.-Л., 1930; Иордан П., Гипотеза световых квантов, УФН , М.-Л., 1930, т. 10; Френкель Я., Происхождение и развитие волновой механики. Природа , .П., 1930, январь; F г е н-к е 1 J., Einfiihrung in die Weilenmechanik, В., 1929; S ommerfeld A., WellenmechaniscJier Erganzungs-band zuHi Atombau und Spektrallinien , Braunscliweig, 1928; В 0 г n M. u. .7 0 r d a n P., Elernentare Qiianten-mechanik, Berlin, 1930; T li i г г i n g H. und Hal-pern 0., Prinzipien der Weilenmechanik. Ergeb-nlsse der exakten Naturwissenschaften*, Berlin, 1928, B. 7, 1929, B. 8; ,T 0 г d a n P., Die Lichtquaiilenhypo-tJiese, *Ergebnisse d. exakten Naturwisscnschaflen*, Berlin, 1928; de В r о g 1 i e L., Introduction h la mechani-tjue ondulaloire, 1929; W e у 1 H., Gruppentiieorie u. Quantenrneclianik, Lpz., 1928; Heisenberg W., Die physikalisclien Prinzipien d. Quantentlieorie, L ip-zig, 1930; Dirac P. A., Quantenmechanik, L-Ip-zig. 1930. Я. Френнель.

МЕХАНИКА ПРИКЛАДНАЯ, наука о ма-пшнах, механизмах и сооружениях, основанная на принципах теоретической механики. Задача М. п. в этом более узком смысле состоит в том, чтобы предсказать, как будет происходить то ил1* другое движение части механизма или машины, какие пути будут описывать их отдельные точки и как велики будут у них скорости и ускорения. На основании полученных величин можно сделать заключение о тех силах, к-рые необходимы, чтобы увеличить или уменьшить кинетпч. энергию механизма или машины. Если присоединить сюда еще исследование влияния внешних сил, ускоряющих или задерживаю-пщх движение той или другой части мап1ипы, то тем самым будет дан первый очерк явлений,

с которым имеет дело М. п. в том объеме, какой подразумевается под этим наименованием в СССР. М. п. отличается от теоретической механики по своему методу тем, что в большинстве изучаемых ею вопросов не имеется математически точной зависимоеги одних величин от. других, а потому нельзя применить строгого математического анализа, и приходится довольствоваться графическими построениями с целью дать раз-репшние поставленной задачи.

За последние 30 лет целый ряд выдающихся ученых (Гартман, Виттенбауер, Тол-ле и др !) дали образцы графич. построений, позволяющих с большой точностью и в то же время с большой простотой и ясностью выявить особенности задач из области М. п. 1азберем в виде первого примера те явления, какими сопровождается работа пневматического зубила (фиг. 1 и 2), положив в основание исследования дрхаграмму (фиг. 3) пути по времени,записанную на быстро вращающемся барабане штифтом, прикрепленным к поршеньку, дви-

Фиг. 1 .

Фиг. 2.

гающемуся в цилиндре под влиянием сжатого воздуха. Диаграмма (s, t) имеет масштабы: по оси ординат 1 мм-а м и по оси абсцисс 1 мм-т ск. Проводя в точках О, а, Ь, с, d п h [гасательные к кривой, получаем соответствующую величину скорости по]>-шенька в м/ск:

dt т dx т = Максимальная скорость при подъеме поршенька будет в точке перегиба N кривой. Примем, что эта скорость выражена на диаграмме (фиг. 4) отрезке^ Ъ мм, и построим эту диаграмму, отложив на оси ординат отрезок OiC = & и проведя через точку С параллель к касательной в точке N к кривой st до пересечения с осью абстдисс в точке 0[. Из тр-ка CO[Oi имеем: О^С = OlOitgq}, или b = ktgq>, а потому

Для любой точки, взятой на диаграмме (s, t), можно провести с достаточной точностью касательную, а через точку 0{ ей

параллельную линию. Соответствующая величина скорости для выбранной точки а:

где у1= 0[D=ktg(Pi.

Соединив вершины ординат у сплошной линией, мы получим диаграмму (v, t), причем масштаб по оси ординат

7к Построим далее диаграмму (v,s) (фиг. 5),. соединяя диаграммы (s, t) я (v, t) при по-

Фиг. 8.

Фиг. 7.

мощи вспомогательной линии АВ (фиг. 6), проведенной под углом 45° к оси абсцисс;; при этом масштабы пути и скоростей остаются премшими. Диаграмма {v,s) дает возможность составить представление об изменений кинетич. энергии поршенька при его подъеме и опускании. Воспользуемся известным вырая-сением

где т--масса поршенька, и заменим скорость V через равную ей величину [у^:

В виду того, что нам предстоит начертить диаграмму {Е, s) кинетич. энергии по пути, поршенька, необходимо заменить площадь квадрата yf через площадь равновеликого прямоугольника az, где отрезок а следует

выбрать таким образом, чтобы при /шад;

тая был равен величине, удобной для по-строения диаграммы {Е, s):

Е

тпр^а

где А =

тра

2 1 2

(кгм в 1 мм)-масштаб кинети-

ческой энергии. При помощи вычислений или простых геометрич, построений можно найти величину г = и построить по точкам диаграмму (Е, s) (фиг. 7). Изменение кинетич. энергии на величину dE происходит под влиянием внешней силы Р на пути ds. В данном случае сила Р получается от ч1жатого воздуха, поступающего в цилиндр из подводящей трубы, соединенной с компрессором. Так как dE = Р ds, то

ИЛИ

~ ds adx а

где v есть угол, образуемый касательной к кривой (E,s). Для графического построения ординат кривой (Р, s) проведем через точку Оз (фиг. 8), лежащую на оси абсцисс, ряд линий, параллельных к касательным к кривой (Е, s), причем построение выполним лингь для той ветви кривой (Е, s), которая соответствует обратному ходу поршенька непосредственно перед ударом его о зубило. Проведенные через точку Од линии отсекают на вертикали 01, восставленной перпендикулярно к оси абсцисс, ряд отрезков: Ozl, Оз2 ИТ. д., пропорциональных силам Pj, Ра так как из прямоугольного треугольника О^Озимеем: 02Z2 = kx tg w, следовательно

или

где Ь ~ --масштаб сил диаграммы (Р, s)

(фиг. 7). Отложим полученные отрезки z{, z, ... от оси абсцисс на соответствующих ординатах диаграммы {Е, s), затем соединим вершины отрезков линией 1 2 3 4 ; полученная кривая дает зависимость между силой Р, ускоряющей поршенек, и пространством, пройденным им от того момента, когда скорость поршенька равнялась нулю. Заштрихованная площадь диаграммы пропорциональна работе и имеет масштаб: 1 мм - ад кгм. Измерив площадь / в мм и помножив на масштаб, мы получим ту работу А = fad кгм, которую поршенек мог бы отдать на перемещение режущей кромки зубила, если бы не было упругих деформаций как самого зубила, так и бойка, в который ударяется поршенек. Указанные упругие деформации, аккумулируя часть работы во время удара, отдают ее обратно бойку, отбрасывая его со скоростью Vq м/ск, причем г; можно определить по диаграмме (v, t), а потерянную кинетическую энергию по диаграмме (Е, s) или непосредственно по формуле Е = , Проверкой правильности построения диаграмм (В, s) и (Р, в) служит равенство:

откуда можно получить величину скорости поршенька перед самым ударом

2fad

MjCK

и сравнить ее с той же скоростью, но полученной из диаграммы (v, t). Если величину dE получить аналитически, диференцируя

вырагкение кинетической энергии Е = ,

то можно составить ур-ие:

dE=mv dv-m dvP ds, at

поэтому диаграмма (Р, в) дает также и зависимость величины ускорения j поршенька от пути, причем масштаб ускорений

у = м/ск в 1 .чм.

Инж. Гределем были сняты при помощи оптич. индикатора диагратш давлений воздуха под и над поршеньком. Эти диаграммы (уменьшенные вдвое) даны на фиг. 9: масштабы: по оси ординат: 1 мм-/g кг/см и по оси абсцисс: 1 мм-0,002 м, следовательно 1 мм площади диаграммы представляет работу 4- 10~*-Fk2J№, причем в этом выра-

Ин8икаторна1е дисгрошо/

1-9г.5мм Фиг. 9.

женин F - площадь поперечного сечения цилиндра в см. Измеряя площади индикаторной диаграммы в мм и помножая полученный результат на Fad, мы найдем величину работы, затраченной на получение одного удара. Величина же полученной работы м. б. вычислена по формуле:

Ei-Eo ~------Отношение полученной работы к затраченной носит название коэфициента полезного действия rj.B данном случае величина г) по Гределю равна 0,9.

Вторьги примером будет служить сверлилка англ. системы Desoutter. В этом аппарате непрерьшное вращате-ньное движение сверла пол^п1ается в результате возвратно-поступательного движения поршеньков, скользящих в каналах под действием сжатого воздуха, поступающего через гибкую трубу с торца аппарата и распределяющегося надлежащим образом по каналам благодаря вращающемуся. диску 1 (фиг. 10). Кагкдый из поршеньков при своем двилгёнии скользит своим нижним концом, отмеченным на той же фиг. 10 цифрой 2, по крав) кулака 3, заставляя вращаться его ось

по часовой стрелке. Предположим, что для движения поршеньков изобретатель принял га])монич. движение, и найдем профиль верхней кромки кхлака 3, исходя из равномерного вращения сверла. Гармо-нич. движение, как известно, можно получить, проектируя точку, двигающуюся равномерно по окружности, на диаметр этой окружности. На фиг. 12 представлена косинусоида, описываемая точкой, двигающейся по диам. круга гар-MOHira. движением, причем сам круг двигается равномерно-поступательно в направлении оси абсцисс. Если же при вычерчивании косинусоиды принять ее шаг, отрезок ОН, равным окружности кулака 3, то, вырезав эту косинусоиду из бумаги, мы можем затем ч. навернуть ее на кулак 5 и получить очертание контура, по которому должны скользить поршеньки (фиг. 11). Рассмотрим действие сил, передаваемых от поршенька кулаку 3 и преодолевающих сопротивление на режущей кромке

Фиг. 10.

Фиг. 12.

Фиг. 14.

Часштаб /им - Sms

Фиг. 13.

сверла, а также сопротивление трения на всех поверхностях, где имеется относительное скольжение или трение качения.

Предположим, что на поршенек в его среднем положении давит слатый воздух с силой Р кг (фиг. 12); разложим эту силу на две компоненты: на силу кг, действующую горизонтально, и на силу R- кг, действующую по нормали к поверхности соприкосновения поршенька с кулаком 3. При этом разложении силы трения пока не были приняты во внимание. Обозначим силу трения на поверхности соприкосновения поршенька с цилиндром, в к-ром он двигается, через jujq кг, силу трения между поршеньком и наклонной поверхностью кулака - через /igfi кг, а силу трения между опорой кулака 3 и кожухом сверлилки-через /и^Р кг. Коэфициенты /л^, [л. и м. б. заменены величинами: tggjx, tgg. tg9?3, где 9?- угол трения. Выбрав подходящий масштаб сил: 1 мм~8 кг, отложим на фиг. 13

- р

вертикально отрезок l,2 = Zp = -мм. Проведем через точку 1 параллель нормали к косинусоиде в точке соприкосновения поршенька с наклонней поверхностью кулака 3, а через точку 2 - параллель основной линии косинусоиды оп и отложим на этих линиях отрезки по 100 мм, а под прямым углом к этим отрезкам отложим в точке 5 отрезок 5, б длиной в 15 мм и в точке 3-отрезок сУ,4 длиной в 10 лш, что будет соответствовать выбору коэфициента трения

i i = tg 9?1 = 0,1 и = tg 9?2 = 0,15.

Проводя линии 2,6 11,4, мы получим точку пересечения 7, а через эту точку проведем линию 7,8 параллельно гипотенузе 7, 8 отдельно начерченного на фиг. 14 прямоугольного тр-ка с катетами 100 мм п 10 что соответствует коэф-ту трения 1л^=\ 9з= = 0,1. Отрезок 8Jl=Zi дает величину горизонтальной силы реакции согласно ф-ле q = 6Zq кг. Предположим, что все коэфициенты трения fj. одновременно превратились в нуль;тогда силе реакции q соответствовал бы отрезок Zq, равный отрезку 1,10, т. к. линия V,TO пошла бы в этом случае параллельно отрезку Zp. Вычислим кпд рассматриваемой передачи сил, определив работу полученную и работу затраченную. Полученная работа, отнесенная к 1 ск., м. б. представлена формулой

А^ = Qw кгм/ск,

а работа затраченная дается формулой

А^ = Pv кгм/ск,

где tv-окрул^ная скорость точки соприкосновения поршенька и кулака 3, а v-соответствующая скорость поршенька. Следовательно кпд т} будет иметь вид:

П

или

ds dx. . ds,i dij

поэтому

где

dx dy Zp tg v>

a 9? ecti. угол наклона касательной к косинусоиде', проведенной в точке касания поршенька фасонной поверхностью кутака 3. Этот угол образуют также линии 2,9 и 1,2 на фиг. 13. Следовательно

, а потому = 7 7 - = jT-,

Кпд в данный момент времени зависит от положения поршенька. При среднем положении поршенька получаем наибольший кпд; для других положений поршенька он будет меньше. Не трудно установить тот наибольший наклон касательной к косинусоиде, при котором кпд передачи делается равным нулю. Т. к. в этом положении Z§ = О, то проведем через точку 1 линию 1,11 параллельно линии 7,8 и отложим от этой линии угол 9З2, соответствующий углу трения, заключенному между линиями 1,5 и и 1,6. Полученная линия 112 параллельна нормали в искомой точке косинусоиды, а проводя к линии 1,12 под прямым углом касательную к кривой 13,14, мы получим ту точку 14, в которой г} = 0. Следует наконец отметить, что в действительном приборе все коэфициенты трения - /.ii, /г^ и в особенности fi - значительно меньше, чем были взяты нами, чтобы сделать построение многоугольника сил более понятным.

Передача вращательного движения между параллельными осями составляет одну из наиболее важных областей М. п. Ограничимся указанием на самые основные, руководящие положения и дадим соответствующие графич. построения. Предположим, что требуется передать вращение от вала Oi к параллельному с ним валу О2 так, чтобы отношение их угловых скоростей o)i и tog было равно заданной величине. Это отношение м. б. величиной постоянной или переменной. На фиг. 15 представлены две плоскости j и II, перпендикулярные к осям Oi и О2 и вращающиеся вместе с ними. Предположим, что обе плоскости ограничены контурами аа я ЬЬ и касаются друг друга в точке К, причем нормали в точке соприкосновения должны совпадать друг с другом. Опустим на эту общую нормаль перпендикуляры из геометрич. центров вращения Oi и О 2 и обозначим точки пересечения этих перпендикуляров с нормалью через МпЬ. Скорость точки М, VjnaOM са, а скорость точки L, = а О^Ь (о^, где а- масштаб чертежа. Основное условие, при котором оба контура, аа и ЬЪ, будут иметь точку касания Ж, состоит в том, чтобы скорости точек М VC L, как лежащих на об-

П1ей нормали, бьии равны: vi,f=vi, или OiM Oil = O2L 0)2, откуда о,л/ <oi~ O2L

Обозначим буквой Р точку пересечения общей нормали ML и линии 00. и, пользуясь подобием тр-ков О^РМ и О^РЬ, заменим в основном уравнении отношение 0,М : О^Ь равным ему отношением О^Р О^Р; тогда

или

0,Р

0)2 а 02Р = < 1 а OiP = г р м/ск, где Юр-скорость точки Р, совмещающей в данный момент как бы две точки: одну, принадлежащую плоскости I, связанной с валом Oi, и другл'ю точку, принадлежащую плоскости II, связанной с валом О2- Распределение скоростей на линии О^О^ может быть представлено на фиг. 16 двумя тр-камп ONP и OgJVP с общей стороной NP, пред-ставляюпей в масштабе 1 мм- м/ск скорость точки^Р, т. е. Vp. Равенство отношений и позволяет сделать следующий

ОцР

вывод: закон передачи вращательного движения от вала к валу О 2 не изменяется с изменением расположения точки касания К на линии ML, причем линия ML может получать самые разнообразные направления, при одном лишь условии: она должна пересекать линию центров 00 2 в точке Р. Следовательно конструктивное оформление передачи м. б. произведено самым разнообразным образом. Разлолшм скорость точки Р на две компоненты: скорость vp-вдоль линии ML и скорость Vp под прямым углем к линии ML. Скорости будет соответствовать на фиг. 17 отрезок NQ, а скорости Vp-отрезок QP. Если давать общей нормали различные направления, то вершина вектора NQ, точка Q, будет описывать окружность диаметра, равного NP, как это' указано на фиг. 17. Скорость г /.равна скорости точки М и скорости точки L:

так как эти точки лежат на одной и той же прямой, совпадающей с обшей нормалью к контурам в точке соприкосновения. Дадим всем точкам нашей системы скорость равную, но противоположно направленную скорости vp. Точки М и L делаются при этом новом движении центрами вращения плоскостей j и II, причем угловые скорости этих плоскостей остаются прежними: (о^ и cog. На фиг. 18 дано построение тр-ка скоростей для линии МК и тр-ка скоростей для линии KL. Скорость точки К, как принадлежащей контуру плоскости I, представлена отрезком RK, а скорость той же точки К как принадлежащей контуру плоскости Л, представлена отрезком ISK, а так как масштабы скоростей одинаковы (1 лип-р'м/ск). то разность этих отрезков ПК - ЬК = US пропорциональна относительной скорости скольжения одного контура по другому. Уничтожить это относительное скольжение можно лишь в том случае, если поместить

точку соприкосновения контуров, т. е. точку К, в точку р.

Инж. Бонди предложил изучать трение в зубчатых зацеплениях экспериментальным путем, заменяя действительные зубчатые колеса двумя дисками, представленными на фиг. 19. Радиусы этих дисков соответственно равны МК и KL, а их окруж-;ные скорости м. б. получены по ф-ле:

(о^аМК м'ск, vjI = (о^а LK м/ск. Эти диски могут приводиться в движение при помощи двух нормальных зубчатых колес, показанных на фиг. 19 пунктиром. Радиусы этих колес MP и PL, а окружная скорость 4Jm одна и та же vp. Если дис- Хм ки будут прижиматься друг к другу той же силой, к-рая передается по норма.яи от плоскости I к плоскости и, то изнашивание дисков будет происходить так же, как и контуров аа я bb п.чоско-стей I и II. Предположим, что с вала I на вал передается момент М/ кгм; если обозначить силу, передаваемую по нормали к контурам, буквою и, то можно составить следующее уравнение:

Ж/ = и-а. (щ, откуда

следовательно сила трения в точке сопрр1косновения будет иметь величину fiU, где -коэф. трения, а секундная работа трения м. б. дала ф-лой:

А = !xU(vk-Vk) кгм/ск. Эту ф-лу можно упростить, вводя угловую скорость в относительн. движении для плоскости II по отношению к плоскости I. Дадим всей системе вращательное движение относительно вала Oi с угловой скоростью (-coi); при этом плоскость I сделается ненодвижной, а плоскость II будет вращаться в данный момент относительно точки Р (полюса мгновенного вращения в относительном движении) с угловой скоростью сор. Пользуясь фиг. 20, мы можем составить выражение скорости aOgW самой оси О 2:

Vo = (- toi). а OiOz = (о.р-а- РО, откуда

A-fiU а-РК (coi -f- СО2) кгм/ск. Предыдущий анализ движения предполагал вращение параллельных валов О г и О 2 в разных направлениях; если же вращение и tOj; д. б. осуществлено вводном направлении, то полюс Р выйдет за пределы линии 0x0г, а угловая скорость сОр в относительном движении равна разности угловых скоростей и со. Поэтому выран^:ение секундной работы тр ения будет иметь вид:

A-fi- и а-РК((о^ - fWg) кгм/ск. Эта ф-ла показывает, что работа трения в передачах с одноименным вращением меньше (при равенстве всех других условий),

а) =-со1Л?, но О1О2 = OiP-Ь О2Р,

следовательно

0,Р

но-= =

<02

поэтому <Ор= - (coi + со). Скорость относительного сксльжения {v-v) равна а РК -сОр, а потому секундная работа трения выразится так:

Фиг. 15, 16, 17, 18, 19 и 20.

чем В передачах с разноименным вращением. Рассматривая вращательное движение за длительный промежуток времени, мы можем установить тот факт, что полюс Р остается в одной и той же точке на линии О1О2, если отношение скоростей со и со,-ве.чичи-на постоянная. В этом случае геометрич. место точек, принадлежащих плоскости / и плоскости II, последовательно совпадающих при вращении этих плоскостей с полюсом Р, дает окружности, описанные радиусом OiP относительно центра Oi, и радиусом О2Р относительно центра Og. Если же отношение скоростей со к cog меняется в зависимости от времени, то полюс Р перемещается по линии О1О2, а соответствующие геометрич. места точек плоскости I я II, совпадающих при вращении с полюсом Р, образуют сложные кривые и м. б. найдены в большинстве случаев лишь графически.

Рассмотрим случай передачи вращательного дви}кения между параллельными осями