• Что такое фактурная штукатурка
• Выбираем сухие строительные смеси
• Преимущества напряженного железобетона
• Что влияет на выбор кровельного материала
• В чем преимущество пробковых полов

состояться, каковы напр. мускульное усилие руки при бросании нами предмета, притяжение земли, натяжение нити при качании маятника и т. п. Зависимости, существующие между данными причинами движения или силами и вызываемыми ими движениями, составляют предмет изучения динамики. В основу последней положены следующие принципы, нашедшие свое подтверждение в совпадении полученных на их основе теоретич. выводов с фактич. явлениями природы. 1) Всякая материальная точка, на которую никакая сила не действует, находится в состоянии прямолинейного и равномерного движения (так наЗ. принцип инерции, или 1-я аксиома Ньютона). В этом случае имеем очевидно

V - Const,

т.ч. характер движения точки определяется равенствами (12) и (12)- 2) Всякая сила, действующая на материальную точку, сообщает последней ускорение, пропорциональное величине силы; направление же полного ускорения а совпадает с направлением действующей силы F (2-я аксиома Ньютона). Обозначая постоянный для данной материальной точки фактор пропорциональности между а я F, характеризующий также массу точки, через т (см. Масса), имеем следовательно:

=т (106)

и

F = та

или по (37) и (15)

т%. (107)

Проектируя F на три взаимно-перпендикулярные оси координат Ох, Оу, Oz я обозначая эти проекции через Ж, Т, Z, имеем из (2) и (38):

dv

F = m

X = ma,.

ma = m

> или у.

dioc\ dfi

dli)

(108)

Ур-ия (108), равносильные ур-ию (106), называются основными уравнениями динамики. Обозначая углы, образованные вектором JF с положительными направлениями осей координат, через а, /5, у,имеем: X п Y. Z

cos а =

COS /5

cosy = 5; (109)

F = VX- + YZ; (110)

что дает возможность определить величину и направление силы, зная величины X,Y,Z. Так как одновременное динамич, воздействие X, Y, Z эквивалентно действию F, то X, Y, Z называются поэтому компонентами, или составляющими, силы по осям координат. Аналогично этому проекция JP* по какому-нибудь произвольному направлению называется ее компонентой, или составляющей,- по этому направлению. Пусть к данной материальной точке приложены силы Fi, F2, Fn, компоненты которых по осям координат суть соответственно Xi, Yi, Zi, Х2, Га, г; п, Yn,

Заменив силы, действуюпще по одной и той же оси, равнодействующими X, Y, Z, имеем:

Х = 2Г, YY- ZjZi. Ill Вектор F, компоненты которого по осям координат суть X, Y, Z, называется равнодействующей данной системы сил Fi, F2,Fn, а последние называются силами составляющими. Т. о, имеем:

JS = X -Ь У -I- Z = (Xi -I- Ха -Ь . + Х„) -Ь -b(riH-Fa-f ...-f У„) -l-(Zi-bZa-b... + ZJ =

= (Xi + Fi -f Zi) -h (Xa -f Га -f Za) + ... + + (X + Y + Zn)=- F,+ F2 + + F , (110) t. e. вектор равнодействующей силы равен сумме векторов сил составляющих. Мн-к abw2b3... /(фиг. 39), построенный так, что

Фиг. 39.

Фиг. 40.

А[В' = F2; BBs = JF3; ...; B,; iВ' = F, называется многоугольником сил, или силовым многоугольником. Вектор F очевидно равен замыкающей стороне силового мн-ка, проведенной от начала мн-ка А к концу его В . Из (110) имеем в этом случае:

(110 )

Пользуясь ур-иями (108) или, что равносильно, ур-ием (106), можно себе поставить следующие две основные проблемы: 1) зная движение точки, т. е. ур-ия движения (2), определить действующую силу, т. е. функциональную зависимость величины и направления силы от времени t, я 2) зная силу, т. е. значения величин (108) как ф-ии времени, определить движения точки, т. е. ур-ия движения (2). Масса точки в обоих случаях предполагается известной. Для решения первой проблемы очевидно достаточно взять вторые производные по t от функции (2) и умножить эти производные на т, что и определит X, Y, Z в функции t. Величина и направление F в зависимости от t определяются уже затем равенствами (109) и (110). Для решения второй проблемы, обратной первой, необходимо очевидно проинтегрировать систему трех диф°ренциальных ур-ий 2-го порядка (108), вследствие чего X, у, г окажутся зависимыми не только от f, но и от шести произвольных постоянных

интеграции С\, Cg.....С^, так что:

ж = fiiijCijCz,...,Cq); 2/=/a(f,Ci,Ca,Се); 2 = /3(f,Ci,Ca, ...,Сб),

или

r = r(f,Ci,Ca, ...,Сб). (Ill)

Произвольные постоянные С^, Са, Cg принимают однако вполне конкретные значения, если известны условия двилсе-н и я точки в какой-нибудь момент, т. е.

если известны положение, величина и направление скорости точки в определенный момент. В частности эти условия м. б. н а-ч а л ь н ы м и, т. е. соответствующими моменту f = 0. Так, если 2 = О, т. е. если движение равномерно и прямолинейно, то из (106) имеем а= О, и следовательно

V = Const = Vo (112)

или

{\v,. (1120

Интегрируя (112), получаем:

r = Vot+ С. (113)

Если,при f = О, г = то из (113) получаем: С^ = Го, т. ч. вместо (113) имеем:

г = о^+Го, (114)

что равносильно трем ур-иям:

У-Ыу1 + Уо Ь (115)

где (Vo)a:, Qvo)y И (?;о)з-проскции Vo на оси координат, а Xq, у^, координаты начального положения точки определяемого радиусом-вектором Гд. Ур-ия (115) и представляют собой ур-ия движения точки, содержащие шесть постоянных (Vo)x, (Vo)y, (VoX, Жо, Уо, Zq. Ур-ия прямолинейной траектории точки получим, исключив t из (115):

X-Xq У - Уо Z - Zq ПТб )

(Vo)x ( о)?/ (г'о)г'

Пусть материальная точка, находящаяся под действием силы F и имеющая в данный момент скорость v, движется по траектории MN (фиг. 40). Разложим F на две компоненты: одну Ft, называемую тангенциальной компонентой - по направлению касательной, проведенной к траектории в рассматриваемом положении точки, и другую, называемую нормальной компонентей,-по направлению соответствующей главной нормали кривой MN. Из (106), (44) и (45) имеем тогда:

/ ч г eft? -

F = (та) = та = т ей причем МОДУЛИ этих компонент:

(117) (118)

(117) (118)

а модуль силы:

Так как вектор полного ускорения а лежит всегда в соприкасающ йся плоскости кривой и направлен всегда внутрь кривизны кривой, то, как эт.; видно из (106), и вектор F лежит в соприкасающейся плоскости и также всегда направлен внутрь кривизны траектории. Отсюда также следует, что компонента силы F по бинормали всегда равна нулю. Как видно из (117), тангенциальная компонента Ft влияет лишь на изменение линейной скорости v, т. е. обусловливает изменение равномерности движения точки; нормальная же компонента, как видно из (118), влияет на радиус кривизны траекто-

рии, т. е. обусловливает отклонение движения точки от прямолинейности. Т. о., если Ft=0,T. е. если сила F в любом положении точки направлена по главной нормали, то точка движется равномерно; в самом деле, в этом случае имеем из (117):

f = 0 и v = Const.

Если же в любом положении точки F = О, то точка движется прямолинейно; в самом деле, в этом случае имеем на основании

(118) ~= О и о = оо, что указывает на прямолинейность траектории. При круговом движении точки имеем на основании (44 ), (45 ) и (46):

Ft=±mR=±Re, (117 )

Fn = mRai\ (118 )

F = mR увсо*, (119)

где R-попрежнему радиус окружности, по которой движется точка. Если точка движется при этом равномерно, и так как в этом случае jP = О, то

FF = mR(o\ (119 )

так что сила F в равномерном движении по кругу все время будет направлена к центру окружности. Эта последняя сила представляет собой частный случай т. п. центральных сил, таких сил, линии действия к-рых проходят через одну и ту же точку. Пусть F представ.тяет собою некоторую центральную силу, проходящую через точку О. Далее, так как направление а всегда совпадает с направлением F, то линия действия а также все время проходит через О, так что точка будет совершать центральное движение, т. е., как это видно из равенства (54), секториальная скорость движения V точки постоянна, а радиус-вектор, определяющий положение движущейся точки и имеющий Качалов О, сметает площади, пропорциональные истекшим промежуткам времени. Такого рода движ;ения совершают например планеты, находящиеся под действием силы притяжения солнца (законы Кеплера).

Пусть точка, находящаяся под действием силы i?,переместилась за бесконечно малый нром( жуток времени dt из положения А, определяемого радиусом-вектором в бесконечно близкое положение А' (фиг. 41), определяемое вектором

г' = г -f dr. Элементарной работой dT силы F называется скалярное произведение векторов F и dr, так что

dT = F-dr = F-drcos(F, dr), (120) причем dr м. б. отождествлен с элементом ds пройденного пути. В зависимости от того, будет ли (F, dr) > или < 90°, и элементарная работа dT будет либо положительна либо отрицательна. В последнем случае F называется тормозящей силой. Если же (F, dr) = 90°, т. е. если F

Фиг. 41.

нормальна к траектории, то ийГ = 0. Если модули проекций dr на оси координат обозначить через dx, dy, dz, то, пользуясь ф-лой векторного исчисления АВ = А^В^АуВу+ + А^В^, имеем из (120):

dT = Xdx + Y dy + Zdz. (121)

Пусть, далее, за промежуток времени от ti до равный М, точка переместилась из полоясения Ai в положение А^. Полной работой Т силы F за этот промежуток времени на этом пути называется сумма всех элементарных работ за этот ж;е промежуток на этом же пути, т. е.

Т= J FdrJ F cos F, dr) dr =

= j (Xdx + Ydy+Z dz). (122)

В частности, если точка движется прямолинейно и если совпадает с направлением движения, и так как в этом случае cosiF, г) = 1, то из (122) имеем:

Т = j Fdr. (122)

Если к тому же F = Const, то имеем из последнего равенства:

T = Fs, (122 )

где 5=Г2-Гл-путь, пройденный точкой за рассматриваемый промежуток времени. Если же в любом положении точки F нормальна к траектории, т. е. F ± dr, и т. к. в этом случае cos {F, dr) = О, то из (122) имеем Т = 0. Если на точку действует ряд сил Fi, Fs, Fs, Fn, причем равнодействующая их F = Fi + F2+...-{- F , то из (122) имеем:

Т = jFdr== J (F1 + F2 + ...+F ) dr =

Ai Ai

A2 Aa

= jJPi dr + Fdr +...=Ti +Тг +... +T,

Ai Ai

где Tl, T2, З'з.....T -полные работы сил

составляющих. Следовательно полная работ а равнодействующей силы будет равна алгебраической сумме работ сил составляющих. Если вообще работа силы за промежуток At равняется AT, то средней мощностью работы Wcp. за рассматриваемый промежуток времени называется дт

частное т-р, так что

W =r. (123)

Истинною же мощностью TF в данный момент называется преде.1 частного (123) при Д^-О, так что

м-о\и) dt

Из равенств (120), (106), (37) и (15) имеем далее:

dT = F dr = та dr = m drj = m (dv v) = = d (I mv = d g- mt;2) = db. (125)

T. Э. m. Xlll.

Выражение L my- называется живою

силою, или кинетической энергией точки. Т. о. по (125) имеем, что элементарная работа силы f равняется диференциад у живой силы точки. Если в положении Ai линейная скорость точки равнялась Vl, а в положении А^ равнялась v, то из (122) и (125) имеем:

T = /d(m.)=-, (125)

т. е. полная работа силы за какой-нибудь промежуток времени равняется изменению кинетич. энергии точки за тот ж;е промежуток времени, причем это изменение м. б. как положительно, так и отрицательно, в соответствии с чем и работа будет либо положительной либо отрицательной.

Понятия работы, мощности и живой силы принадлежат к т. наз. производным понятиям динамики. К числу последних принадлежат также и понятия количество движения и импульс силы. Количеством движения точки называется произведение массы т точки на скорость V последн?й. Обозначая количество движения через к, имеем следовательно: k = mv. (126)

Оч:видно векторе в т раз больше вектора V и совпада<т по направлению с последним. Вектор fdt называется элементарным импульсом с и л ы, а вектор Fidt, где Fi есть компонента f по некоторому направлению I, называется элементарным импульсом силы по направ.чению I. Полным импульсом силы / за промежуток времени от ti до 2 называется сумма всех элементарных импульсов силы за рассматриваемый промежуток времени, т. е.

и

J=fFdt. (127)

Аналогично этому имеем полный импульс силы по направлению I:

Ji = Jf dt. (127)

Так как F = X + Т + Z, то из (127) имеем:

J= j {X + Y +Z)dt = tl

tj ta 2

=Xdt jYdt + J ZdtJ- + J-y + J,.

t, tl tl

T. e. полный импульс силы равен сумме полных импульсов силы по осям координат. Из (127) непосредственно следует, что

(128)

dt

Т. е. производная по времени от полного импульса силы равняется действующей в данный момент силе F. Из (127) имеем также, принимая во внимание (106) и (37):

ta 12

J = J та dt -=mj dv = mvg - mvi, (12У)

где Vi и t?a - скорости точки в моменты ti и fj. т. о. видно, что полный импульс силы за какой-нибудь промежуток времени равен изменению количества движения за тот же промежуток времени.

Рассмотрим теперь такую силу F, величина и направление к-рой зависят только от положения точки приложения силы, так что

F = F(x, у, Z), (130)

или, что равносильно:

Х = Х(х, y,z) \

Y = Y(x,y,z) (130)

Z=Z(a;, у, Z) j

Коли последние ф-ии однозначны и непрерывны в определенной области, то каждой точке области соответствует сила определенной величины и определенного направления. Совокупность всех таких точек составляет т. н. силовое поле, или поле сил. Допустим кроме того, что имеется такая однозначная непрерывная ф-ия U(x, у, z), которая обладает следующими свойствами:

= ~

ди 5 = -

(131)

Если такая ф-ия Е для данной силы (130) существует, то она называется по.отношению к данной силе силовой, или п о-тенциальной, а сама сила называется потенциальной. Нетрудно видеть, что если данная сила потенциальна, то т. к. из (131) имеем:

ах агс; аг эгу

н аналогично:

dY Ъг dZ дх

дХ dz

(132)

Последние равенства и представляют собой условия, необходимые и достаточные для того, чтобы данная сила F была потенциальной. В последнем случае имеем на основании равенства (131):

FXi + YJ -}-Zlc = -

ду dz

= у с; = - grad U, (133)

так что F-градиент функции JJ (см. Век-шорное исчисление). Так как функция U однозначна, то каждой точке рассматрршае-мого силового поля соответствует одно, и только одно, значение функции U, получаемое подстановкой в U\x, у, z) координат данной точки ж,-, у^, Zj, вместо текущих координат х, у, Z. Полученное т. о. значение U называется потенциалом поля в рассматриваемой точке. Пусть точка переместилась под действием потенциальной силы F из положения А, определяемого радиусом-вектором г, в бесконечно близкое положение. Элементарная работа силы F при этом перемещении будет по (121) и (131): dT = Xdx+Y dy Zdz=-

Допустим далее, что под действием данной потенциальной силы F точка переместилась из положения Aiix, Ух, z} в положение AziXz, У2, Zz) по некоторой траектории ACAz (фиг. 42). Пусть потенциалы поля в этих точках будут соответственно

Ui==U(Xx, Ух, zx); U2 = U(X2, У2, z). Тогда полная работа силы F при рассматриваемом перемещении точки будет равна на основании (122) и (131):

Т = {Xdx+Y dy +Zdz) =

= - fdUUx-Uz, (134)

так что полная работа Т равняется разности потенциалов Ui - U. Отсюда видно, что' работа Т потенциальной силы F не зависит от самой траектории АхСА, а только от положения крайних точек ее. Это свойство называют свойством консервативности потенциальной силы. На этом / : -у основании нетрудно притти Ф^,1, к выводу, что работа потенциальной силы по всякому замкнутому контуру АхСАС'Ах равняется 0. Сравнивая равенства (125) и (134), имеем также:

или

rnvi

так,что для всех точек поля Const.

(135)

(135

(136)

Живая сила ~* характеризует к и н е т и-

ч е с к у ю энергию материальной точки массы т в положении (аз, у^, z, а потенциал U-и отенциальную энергию материальной точки в том же ее положении. Т. о. ур-ие (136) выражает, что сумма кинетич. и потенциальной энергии материальной точки, перемещающейся под действием потенциальной силы, есть величина постоянная для данного силового поля: Совокупность всех точек поля, имеющих один и тот же потенциал, представляет собою в виду однозначности и непрерывности функции Ь очевидно некоторую поверхность называемую эквипотенциальной, или поверхностью уровня. Уравнение эквипотенциальной поверхности очевидно будет:

Vise, у, Z) = С, (137)

или

dU = 0, (1Э7>

где С-нек-рая произвольная постоянная. Меняя значение постоянной С, получим целое семейство эквипотенциальных поверхностей. Проведем из какой-лцбо точки О (фиг. 43) поверхности уровня U(x, у, z)= С нормаль п к последней и пусть эта нормаль образует с осями координат углы а, у. Тогда имеем на основании выводов дифе-ренциальной геометрии (см.): ди

cos р

cosy

dU ду

dU . dz

(138)

Пусть, с другой стороны, линия действия силы Р, действующей в точке О, образует с осями координат углы а', /3, у'. Из равенств (109), (110) и (138) имеем: X

cos а =-----------=

l/X+Y + Z-

----------=спйа

и аналогично:

cos р = cos Р',

cos у = cos у\ Т.о. потенциальная сила F направлена по Еюрмали к поверхности уровня, проходящей через точку приложения F. Это же можно усмотреть и непосредственно из формулы (133), исходя из самого понятия градиента функции и. Так как по определению все точки поверхности уровня имеют один и тот же потенциал, то из (134) имеем: 1) полная работа потенциальной силы при перемещенпй точки по поверхности уровня равняется нулю и 2) работа потенциальной силы по произвольному незамкнутому контуру, имеющему крайние точки на одной и той же поверхности уровня, равна 0.

Нетрудно видеть, что всякая центральная сила есть сила потенциальная. В са-люм деле: допустим, что имеется некоторая центральная сила F, линия действия к-рой проходит через центр О и величина к-рой F зависит от расстояния АО = г, где А- точка приложения силы JP (фиг. 44), так что

i = /(r).

Если ri-единичный вектор, определяющий направление OA, то вследствие центральности силы F имеем:

F=±Fri=± f(r)ri, (139)

причем знак (-{-) соответствует случаю о т-талкивающей от О силы, а знак (-) соответствует случаю притягивающей к О силы. Элементарная работа силы равняется, на основании (120) и (139): ат =Fdr=±f{r) (ri-dr) = = ± f(r-)dr (гi 7\) ± /(г) г(г1 dr-i) =

=-±/(r)dr, (140)

т. к. (Vi rj =1, а (Ti dvi) = О, ибо J. dr. Обозначая

т J f(r)dr + C=U, (141)

имеем из (140):

dT = -dU, или T-Ui-U, что и доказывает свойство консервативности всякой центральной силы, а вместе с тем и то, что она потенциальна. Ур-ие поверхности уровня будет по (137): dU = 0,

или

/(r)dr = 0; dr = 0; г = Const, т. е. поверхности уровня представляют концентрические шаровые поверхности, центр которых совпадает с центром О. В частности сила взаимного тяготения, действующая по закону Ньютона как сила центральная, есть в то же время и сила потенциальная, так что по отношению к ней применимы все выводы, сделанные выше по отношению

Фиг. 43.

Фиг. 44.

К потенциальным силам вообще. Если име- ются две материальные точки, массы которых равны m и т' и которые отстоят друг от друга на расстоянии г, то, как известно, величина силы взаимного притяжения, действующая между ними, прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату их взаимного расстояния. Если точку массы т' поместить в точке О, то сила пригяжения F, действующая на точку массы,

(142)

где к-некоторый универсальный фактор пропорциональности. Обозначая km через /*, имеем также

(142)

Сравнивая равенства (142) и (139) и принимая во внимание, что в данном случае F есть сила притяжения, имеем:

/(г) = ?, (143)

так что по (141):

t7 = /;-dr = /m/; = ---f С. (144)

Если при г = Го потенциальная ф-ия Z7 имеет значение Uo, то из (144) ьмеем:

tJ = -i + C, или С^

о

так что

и = ~/г^[1-1) + и,. (144)

Нетрудно видеть, что сила тяжести JP=mcr есть также сила потенциальная, В самом

деле, если оси координат Ох и Оу взять в горизонтальной плоскости, а положительное направление оси Oz взять вертикально вверх, то

Х = 0; Г = 0; Z = ~mg. (145) Так как условия (132) при этом удовлетворяются, то сила JP потенциальна. Для того чтобы найти соответствующую потенциальную функцию, имеем из (133), принимая во внимание (145),

- dU = X dx + Y dy + Z dz - тд dz, (146) откуда интегрируя получаем:

и = + mgz + С. (147)

Если точке, имеющей ординату г = , соответствует потенциал Е^, то из (147) находим:

C=Uo- mgzo,

так что

U = mgiz-Zo) + Uo. (147)

Ур-ие поверхности уровня U = Const дает в данном случае: г: = Const. Т. о. поверхности уровня представляют собой в рассматриваемом случае горизонтальные плоскости. Пусть точка переместилась из положения Ai, где потенциал Ui, в положение Л2, где потенциал (фиг. 45). Полная работа силы тяжести Р при этом перемещении по (134) и (147):

T=Ux-Uz = [mgizx - z ) + Uo] --lmg(z2-Zo)+Uo]=mg(zx-Z2)P{z,-Zz), (148) где Zi и Z2 представляют собой координаты соответствующих положений точки. Т. о.

Фиг. 45.

Фиг. 46.

работа силы тяжести при всяком перемещении весомой точки равняется произведению величины силы. Р на разность высот пол(>-жений точки. Очевидно, если точка перемещается в горизонтальной плоскости, то, так как разность высот равна нулю, работа силы тяжести также равняется нулю.

До сих пор мы рассматривали движения лишь т. н. свободных точек, т. е. точек, подвергавшихся воздействию только нек-рых сил, из к-рых каждая стремилась сообщить точке определенное движение. Но имеются случаи, когда на движение данной материальной точки помимо данных сил влияют еще и другие причины, как напр. воздействие данной поверхности или кривой, по к-рым материальная точка вынуждена перемещаться (тело, перемещающ еся по данной поверхности, шарик, перемещающийся внутри трубочки и т. п.). В последнем случае точка назьшается несвободной или находящейся под действием свя-

зей. Очевидно представляется возмолсным найти такую силу, действие которой могло бы заменить действие данной связи; такая сила называется реакцией, или с и-лой, связи. Прибавив реакцию R данной связи к данным силам, приложенным к точке и имеющим равнодействующую F, можно будет опять рассматривать точку как свободную, к к-рой приложены силы F я М, так что ур-ие двииения точки будет по (107):

т

F + 11.

(149)

Равнодействующая Ф = F М назьшается эффективною силою в отличие от F, называемой силою движущей. Если реакция связи В не дана, то очевидно, что ур-ия (149) недостаточно для определения движения точки, т. к. содержит в сущности три неизвестных компоненТ:>1 силы В по осям координат, вследствие чего является необходимым получить три новых ур-ия. Если точка вынунодена перемещаться по нек-рой поверхности S, то ур-ие этой поверхности f(,x,y,z) = 0 (150)

и представляет собою одно из необходимых дополнительных ур-ий. Если же точка вынуждена перемещаться по нек-рой кривой С, то ур-ия этой кривой .

/а(ж,2/,0) = О ( представляют собой два из необходимых дополнительных ур-ий. Три ур-ия

f,(x, y,z) = 0\

h{x,y,z) = 0 } (152)

hix, y,z) = 0 } дают только одно определенное положение точки, так что перемещение последней оказывается невозможным. Если связи абсолютно гладкие, т. е. если реакция связей не имеет тангенциальных компонент, то jB нормальна как к поверхности S, так и к кривой С. Принимая это обстоятельство во внимание, получаем два уравнения, выражающих перпендикулярность 12 к поверхности S, и одно ур-ие, выражающге перпендикулярность JB к кривой С И в том и в другом случае мы следовательно получаем по три добавочных ур-ия, необходимых как для полного определения движения точки, так и для нахождения неизв. стных компонент реакций связи В. Распространяя этот вывод и на крайние случаи абсолютно свободной и абсолютно- несвободной точек, можно сказать, что в первом случае эти три добавочных уравнения дают условие В = О, а во втором-условие v = О. При наличии поверхности S можно две из переменных величин X, у, Z выбрать произвольно, а третью определить через первые две из уравнения (150). Произвольно взятые координаты называются свободными (см. Координаты). При наличии же кривой С можно произвольно взять только одну из трех координат, а оставшиеся две определяются через первую из ур-ий (151). Так как в п рвом случае точка обладает большею свободою движения, ЧсМ во втором, то число свободных координат нринимается как величина, определяющая степень сво-

б о д ы точки, находящейся под действием связей. Точка следовательно имеет 3, 2, 1 и О степеней свободы в заврюимости от того, перемещается ли она свободно по поверхности, по кривой или совершенно неподвижна. Ур-ие движения (149) м. б. представлено еще и в следующем виде:

F +М + (- та) = О, (153)

что м. б. интерпретировано след. обр. Допустим, что кроме сил и JB к точке приложена еще одна сила

Q = - та. (154)

Тогда, как это видно из (153), все три силы взаимно уравновешиваются. Эта фиктивная по отношению к движущейся точке сила Q называется силою инерции. Т. о. получается, что данная материальная точка, находящаяся под действием сил РиМ, движется так, что в каждый момент движения силы F, It я сила инерции взаимно уравновешиваются. В этом собственно и заключается т. наз. принцип, или начало, Д'Аламбера. Равнодействующая сил F и Q, равная -М, называется потерянною силою (фиг. 46). Очевидно также, что сила инерции Q по величине своей равна эффективной силе Ф, но по направлению противоположна последней, так что Q= -Ф. При всей своей простоте принцип Д'Аламбера во многих случаях значительно облегчает исследование законов движения точки, сводя вопрос о движении точки к вопросу о ее равновесии.

Допустим, что материальная точка вынуждена перемещаться по неко-орой кривой С. Спроектируем силы F, Л и Q на направ--тения: касательной к кривой, проведенной в сторону движения точки, главной нормали, проведенной к центру кривизны кривой в рассматриваемом положении точки, и бинормали (фиг. 47). Так как В, нормальна к крхшой, т. е. JB Lti, где ti попрежнему единичный вектор, определяющий направление касательной, то, обозначая ком-попе иту F по касательной через Ft, имеем из (117) и (149):

(155)

Обозначая компоненты F я М по главной нормстли через Fn я М„, имеем из (118) и (149):

(156)

Компонента силы инерции Q по главной нормали

mvi

(156)

называется центробежной силой инерции. Если точка движется по окружности с угловой скоростью со, то, так как v=cor я Q=r, имеем:

Q = -mco-rQi (156 )

При равномерном круговом движении

т. к. далее по (47) проекция полного ускорения а на бинормаль равна О, то из (153) имеем также

Ff, + B,0, (157)

где Ff, и JRj, суть компоненты сил F я В по бинормали. В виду того, что В при абсолютно гладких связях всегда нормальна к траекторрш точки, находящейся под действием этих связей, то полная работа JR при любом перемещении точки равняется нулю, что справедливо и для вышеуказанных крайних случаев (В = 0 или v = 0). Таким образом

jBdrO. (158)

Допустим, что точка, находящаяся под действием связи, представляемой поверхностью S, начала перемещаться из состояния покоя под действием сил F я В. Это движение в начальный момент происходит по направлению равнодействующей их, т. е. по направлению эффективной силы Ф. Очевидно, что элементарная работа обеих сил в этот момент положительна, так что

и так как

(F + B)-dr>0 B-dr = 0,

(158)

Фиг. 47.

Fdr>0,

т. е. F dr cos (F, dr) > О или cos (JP, dr) > 0.

Отсюда видно, что начальное элементарное перемещение dr образует с силою F острый угол. Если сила F потенциальна, то так как по (133) dT = F- dr = - dU, то следовательно в рассматриваемый момент

dU < О, (159)

т. е., другими словами, при начале движения потенциал U должен убывать. Отсюда следует, что если среди всех возможных элементарных перемещений, допускаемых данной связью, нет ни одного, при к-ром с, бы потенциал U убывал, то точка под действием сил F я В яе может притти в движение и следовательно будет находиться в равновесии. Такой случай может представиться напр., если точка находится на поверхности S в таком положении, при котором и принимает максимальное или минимальное значения, так как в этом случш-при всех возмонсных элементарных перемещениях, допускаемых связью, dt/ = О. В случае, если в качестве силы JP является вес материальной точки F = mg, то так как в этом случае по (146)

dU = тд dz

и так как в начале движения dU < О, то в этот же момент

dz < О,

т. е. весомая точка начинает двигаться под действием сил Р я В так, что z убывает, т. е. начинает двигаться вниз. Т. к. работа силы В при движении точки равняется нулю, то ур-ия (125) и (125) применимы и для несвободной точки, рассматриваемой кагс точка, к которой как будто бы никакие реакции связей не при.тожены. Если же сила

Р потенциальна, то и ур-ие (135) м. б. применено при таком же игнорировании силы М. Отсюда между прочим следует, что если имеем ряд материальных точек, падающих под действием силы тяжести в пустоте с одной и той же высоты, причем одни из них свободны, а другие вынуждены перемещаться по гладким поверхностям или кри-вьш, то, находясь на одной и той же высоте, все они имеют одну и ту же скорость. Пусть нек-рая материальная точка вынуждена перемещаться по гладкой кривой С. Так как по (158)

B\-dr = 0,

то, умножая скалярно левую часть ур-ия (153) па dr, получаем:

f- dr-madr = 0. (160)

Допустим, что рассматриваемая точка находится в покое. Тогда имеем из (160), так как а = 0:

f-dr = 0, (161)

т. е. f±dr. Т. о. для того, чтобы точка, находящаяся под воздействием связи С, была в равновесии, достаточно, чтобы движущая сила f была нормальна к кривой С. Если же точка перемещается по кривой С, причем JP = 0, то из (155) имеем

и следовательно v = Const, так что в рассматриваемом случае точка перемещается по кривой с постоянною линейною скоростью V. Из (157) и (156) имеем также в этом случае

16 = 0 (162)

и

Вп- -Qi

т. е. что

В=-Вь + В^ = В.= -Qx-

(163)

(164)

Выводы, касающиеся движения точки по данной кривой или по данной поверхности, имеют большое прикладное значение, как напр. при исследовании движения маятника и во многих других случаях (см. Маятник, Колебательные двиоюения).

До сих пор мы рассматривали связи, не зависящие от времени t, т. е. не изменяющиеся с течением времени. Однако может случиться, что во время перемещения точки но данной связи сама связь также изменяв ется, что имеет напр. место, если точка перемещается по кривой или же по поверхности, к-рые в свою очередь перемещаются в пространстве. В последнем случае уравнения (151) кривой С или уравнение (150) поверхности S содержат в явной форме помимо переменных ж, у, z также и переменную i. Для определения движения материальной точки, находящейся под действием силы f при наличии связи, зависящей от i, можно поступать точно таким же образом, как и выше, т. е. исходить из содержащихся в (149) трех основных координатных ур-ий динамики в соединении с тремя ур-иями, выражающими данную связь и перпендикулярность ее реакции. Но в дальнейшем выводы о движении точки при наличии связи.

не зависящей от времени, к рассматриваемому случаю неприменимы. В то время как в первом случае, напр. траектория, описываемая точкою в пространстве, вполне совпадает со связью, осуществляемой кривою С, во втором траектория точки отличается от кривой С; вследствие этого сила В перпендикулярна к траектории при связи, не зависящей от времени, и не нерпендику-лярна к траектории при связи, зависящей от %. Если точка вынуждена перемещаться по прмой, в свою очередь вращающейся около одной из своих точек, то очевидно, что траектория точки есть некоторая кривая, и что перпендикулярная к прямой сила В не будет перпендикулярна к траектории точки.

Выше при установлении уравнения (153) мы видели, что законы движения точки м. б. сведены к законам равновесия точки, находящейся под действием определенных сил, и что это обстоятельство упрощает в значительной степени исследование законов движения. Этот метод оказывается еще в большей мере полезным при исследовании движения системы материальных точек. Поэтому целесообразно сначала установить общие законы статики точки и твердого тела, а затем перейти к исследованию законов движения системы точек и в частности- твердого тела.

Статика. Допустим, что к какому-нибудь твердому телу приложена система сил JPi, Fz, F, величины, направления и линии действия которых известны. Основной задэг чей статики является определение условий, при которых данные силы взаимно уравновешиваются или, если данные силы не уравновешиваются, то каковы д. б. те силы, которые необходимо прибавить, чтобы равновесие имело место. При этом нужно различать следующие системы сил: 1) сходящуюся систему сил, т. е. такую систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, в отличие от несходящейся системы сил, линии действия к-рых в одной точке не пересекаются; 2) плоскую систему сил, т.е. систему сил, линии действия которых лежат в одной плоскости, в отличие от неплоской системы, у которой линии действия сил в одной плоскости не лежат. В основе всех выводов статики лежит следующий принцип: для того чтобы две силы f\ и jPg, приложенные к одному и тому же телу, взаимно уравновешивались, необходимо и достаточно, чтобы силы были равны по величине, противоположны по направлению и чтобы линии действия их совпадали (3-й закон Ньютона); при этом расстояние между точками приложения сил никакой роли не играет. Отсюда следует, что все силы, имеющие одну и ту же величину, общую Линию действия и нанравлен-ные в одну и ту же сторону,-э к в и в ал е и т и ы. Вследствие этого вектор силы в статике принадлежит к категории так наз. скользящих векторов. Отсюда также следует, что для полного определения силы необходимо знать не только ее величину и направление, но и линию действия ее.

Пусть к данному телу приложена сходящаяся система сил f, f,..., f, линии дей-

ствия к-рых пересекаются в точке О. Переместив все силы по линиям их действия так, чтобы точки приложения их совпали с точкою О, получим новую систему сил F{, Fi, Fn, эквивалентную данной. Заменив последнюю систему сил их равнодействующей F, по вышеприведенному способу, т. е. построив на этих силах силовой мн-к и проведя замыкающую сторону от точки О к концу силового мн-ка, получим также и равнодействующую для данной системы сил. Очевидно, что если прибавить к данной системе сил силу -F, то вся совокупность сил уравновесится; поэтому сила -F называется уравновешивающей.

Пусть к данному телу приложена плоская несходящаяся система сил Fi, F, F, линии действия к-рых суть 1, 1, 1- Продолжив линии действия I и I а до их взаимного пересечения в точке Oi и сместив Fi и ia в эту точку, заменим их одной равнодействующей Jja =Ji+Ja- Продолжив затем линию действия lia силы Fif до пересечения с прядюй Is в точке О а, заменим аналогичным способом силы Fi2 и .Fs одною равнодействующей -Fig и т. д. Т. о. всю данную плоскую несходящуюся систему сил можно в общем привести к одной равнодействующей силе F. Од нако( если в процессе последовательного сложения сил встретятся параллельные силы, то приведенный метод очевидно неприменим, ибо соответствующие им линии действия не дают точки пересечения, находящейся на конечном расстоянии. В этом случае сложение сил м. б. произведено след. образом. Допустим, что к двум различным точкам тела А^ и Az (фиг. 48) приложены две силы Fi и F, параллельные и направленные в одну и ту же

-> -->

сторону, причем пусть JPi=J.iBiHjP2=JaB2. Соединив точки А-и А^ прямою А j Л а, при-* -> ложим к ним 2 силы F[ = AiC и Fi - А^С^, равные по величине, противопспожные по направлению и линии действия к-рых совпадают с АуА^. Очевидно, что система сил Fi, F2, F[, F2 эквивалентна совокупности первоначальных двух сил. Заменив силы

->

Fj и Fi их равнодействующей Qi= AiDi = = Fi+Fj, а силы F2 nFg равнодействующей Qa = 2-D а = -Р 2+2, получим новую систему сил Qi и Q2, эквивалентную первоначальной. Т. к. Qi и Q2 уже не параллельны, то, продолжив линии действия их до пересечения их в точке О и сместив силы

Qi и Qa в точку О, так что OEi = Qi и OjEJj = = Qa получим равнодействующую силу jP =

-►--у--у

= 0Е= OEi + OEt как для системы Q, так равно и для данной системы сил Fi, JPj. Проведя далее из точек Ei w Е, прямые Ш1К1 и EiKi, параллельные А1А2, имеем:

Фиг. 48.

AOEiKi =js ADiBi и АОЕ2К2 = Д A2D2B2, так что OKi = и ОК2 = Fi. С другой стороны, так как А ОЕК^ = Д ЕК2Е2, то OKi= К2Е и bliti = Е2К2. Таким o6fia30M имеем:

F = ОЁ = дК2 + К^Ё = OII2 + 0Ki = Fi + F2, т. е. что величина (т. наз. модуль) равнодействующей силы равняется сумме величин сил составляющих. Так как OEWFiWFz, то имеем также F = Fi+ F2. Продолжив ОЕ до пересечения с AAz в точке имеем далее:

AAAiOo/\KiEiO и AJ.aOcoAJfjSjjO, так что

А0 AAi j40 11 KiO KtO

Деля почленно последние два равенства, имеем:

ААл -ЕоК

(165)

или, принимая во внимание, что EiK получаем:

AAi 1

т. о. линия действия равнодействующей F делит отрезок -4.12 внутренним образом на части, обратно пропорциональные величинам сил Fi и Fj. Из (165) имеем далее:

= , или = - . (166)

AAi + AAi А,А, Р

Если повернуть силы F-w F2 около точек их приложения, сохраняя при этом их величины и параллельность, то т. к. при этом ве.дичины J. 1А 2, -Ра и F, как видно из (166), не изменятся, не изменится и расстояние АА-, т. е. линия действия системы повернутых сил будет также проходить через точку А, к-рая вследствие этого и называется ц е н-т р о м данных параллельных сил. Если г^. Га и г-радиусы-векторы, определяющие соответственно положения точек Аг, А2 и А, то, так как эти точки лежат на одной прямой, имеем:

[(f-n)(r2-n)] = 0, (167)

или, что равносильно:

-\ v-vi 271 (167 )

Xi-Xi Vi-Vl Zz-Zi

где Xi, у I, Zi и Х2, У2, Z2 - координаты точек Аг и А2. Ур-ие (167) или (167) представляют собой ур-ия прямой AiAf. Если координаты центра А параллельных сил обозначить через Хо, г/о, Zq, то из (167) и (166) имеем:

Xi-Xi

ААч

Vi-Vi Fi

Zo-Zi Zi-Zi

Из последних равенств пол^аем:

XoF -ХгЕг-- X2F2 \

yoF-yiFi + ytPt i ZoFZiFi + Z2Ft ]

Fi+Fi ViFi+ViPt

Fi+F, ZiFi+ZtFj

Fy + Fi

(108)

Последние равенства определяют положение центра данных двух параллельных сил в зависимости от координат их точек приложения и от их величин. Если имеСхМ три параллельные силы Fi, Fo, F3, то, рассматривая отдельные силы F и F2, имеем координаты центра их по (169)-

ViFi + yFi . , ZjF, +Z2Fi

Рассматривая затем систему, состоящую из равнодействующей Fi 2 = Fi -f- Fa и третьей силы F3, получаем координаты центра всей данной системы:

х'о f, 2 + X3F3 XiFi + X2F2 + X3F3]

и ана.логично:

Fi+Fs + F3

У о

Zo =

. yiFi+yjFs+yaFs Fi+Fi + Fs ZtFi + zFi + Z3F3

(169 )

Fi + F2 + F3

Обобщая этот вывод для случая п сил, имеем в общем:

Sf,-

(170)

в частности силами F могут явиться силы BecaFi=misr;P2= т^д; F = mg системы материальных точек, массы которых- m-i, niz, ш„. Тогда имеем из (170):

j:PiXi lmiXi

ZmiZi

(171)

что м. б. представлено одним векторным равенством

тГо^Итг^, (171)

где т-масса всей системы точек. В этом случае центр параллельных сил называется центром тяжести, или центром

А А.

Фиг. 49.

Фиг. 50.

масс, системы материальных точек. Если система точек-твердое тело, то, обозначая вес элемента тела через dP=dm-g, имеем, суммируя (171) по всему объему тела:

2/о =

(172)

где P и m-вес и масса всего тела (см. Масса). В рассмотренных вьппе случаях силы были параллельны и нанравлены в одну и ту же сторону.

Для того чтобы слояить две силы и Fg антипараллельные (фиг. 49), т. е. две силы параллельные, но направленные в противоположные стороны, можно проще всего поступить след. образом. Пусть Fi>F2. Очевидно на основе вьппесказанного можно силу Fi представить как равнодействующую двух параллельных ей сил: F . придолсенную к точке приложения А^ силы F2 и равную по величине этой последней силе, и Fi = Fi - FI, приложенную к нек-рой точке А. Тогда вместо системы сил Fi и Fg имеем систему Fi, Fi и F2, а так как силы F[ и F2 взаимно уничтожаются, то остается одна лишь сила F, равная по величине F-x-Fz и приложенная к точке А, положение к-рой определяется след. обр. Из (166) имеем:

-ё- = ; (173)

Fi

или - = -S (173)

А^А^ + ААх F{-Fl AAz Fj,

следовательно точка А делит отрезок AiA внешним образом на части, обратно пропорциональные величинам данных сил. Из (173) имеем также:

AAj = AiAz щ = -lAz pz. 2

Из последнего равенства видно, что, чем больше F2 приближается по величине к Fi, тем дальше отодвигается точка А, и тем меньше становится Fi, так что в пределе при Fx=Fz получаем: ААх = оо и Fi=0. Таким образом две равные антипараллельные силы не имеют равнодействующей силы. Совокупность таких двух сил носит название пары сил (см.).

Из предыдущего ясно, что совокупность параллельных и антипараллельных сил можно привести к одной равнодействующей, величина которой равняется алгебраич. сумме величин сил составляющих, причем силы, направленные в одну сторону, берутся с одним знаком, а силы, направленные в другую сторону,-с противоположным знаком. При сохранении последи, правила формулы (170) определяют также положение центра рассматриваемой системы параллельных и анти-паралле.льных сил. Если в частности S =0, то положение центра становится неопределенным; в этом случае вся система сил либо приводится к паре сил, либо силы взаимно уравновешиваются. Последний случай очевидно имеет место, если линия действия равнодействующей всех сил, направленных в одну сторону, совпадает с линией действия равнодействующей сил, направленных в противоположную сторону; первый же случай имеет место, если эти линии действия не совпадают.

Пусть к точке А нек-рого тела приложена сила F (фиг. 50). Возьмем на теле какую-нибудь другую точку О, положение к-рой по отношению к системе отсчета с началом в определяется радиусом-вектором г'.Приложим к О две силы F и Fx, первую параллельно, а вторую антипараллельно F, причем пусть F=Fx-=F. Система сил Fi, F и F, эквивалентная силе F, м. б. рассматри-